【高校数学】剰余の定理と因数定理
はじめに
以前扱った整式の除算（【高校数学】整式の除算（割り算）、剰余 - どくとる・めも）の続き。
前回は「除法の原理」を紹介し、整式に対しても普通の数と同じように除算を考えられること、商と剰余がただ1つに決まること、などを学んだ。
ただしこれだけでは、実際の大学入試問題ではあまり役に立たない。前回の内容をもう少し拡張し、今回は「剰余の定理」と「因数定理」を学ぼう。
剰余の定理の主張
まずは剰余の定理の主張の確認から。
関数を一次式
で割ったときの余りは
である。
ふむ、本当にそうだろうか?試しにを
で割ってみる。
だから商は
、剰余は
となる。
...なるほど、確かに整合する。
しかし、なぜ剰余の定理は成立するのか?
剰余の定理の証明
前回のエントリの「除法の原理」で考えた様に、を
で除した時の商を
、剰余を
とおけば、
ならびに
はただ一つに定まる。そこで、これらの具体的な中身は一旦無視して、
という関係を考えよう。すると、どう見てもである。証明がシンプルすぎて証明と言えるのかどうかも疑問符だか、とにかくこれで証明できている。
あえて付け加えるなら、この定理は剰余にしか着目していない。商の中身は、全く持って不明である。この定理でわかるのは、あくまでの剰余だけ。
剰余の定理の補足
しかしながら、を
で割りたい、というのはいささか以上に特殊なケースと思われる。実際には二次以上の式で割りたかったり、
のような式で割りたかったりするだろう。
どちらの場合においてもと置いてみて考えればいいのだが、
が二次以上となると、
となるような定数
を見つける難易度がグンとあがる（というか見つかるとは限らない）。
しかしながら、が
のような一次式なら、まだなんとかなる。
は0なので、先ほどの証明と同様の考えを適用できる。
実際にやってみよう。を
で除するケースを考える。
なので、このケースでの剰余は2となる。また、
、すなわち
として考えれば、
やはり成り立っている。めでたしめでたし。
因数定理の主張
剰余の定理が一段落したところで、次は因数定理の確認に移る。
まずは、因数定理がどのような定理であるかを確認しよう。こちらの主張も非常にシンプルで、
関数
が
を因数に持つというのは、
は
と別の関数
を用いて
のように表せるというのと同義である（因数の定義については、因数とは？1分でわかる意味、因数の例と見つけ方、30と20の因数、素数との違いを参照）。
すなわち、今まで除法の原理や剰余の定理で考えていた剰余が0のケースとなる。
因数定理の証明
剰余が0だから、どう見ても
である。これで、
関数
が証明できた。次に、この命題の逆、すなわち
を考える。先に述べた様に、剰余が0なのはわかりきっているのだが、証明の関係上
と置いてみる。この時であり、今は前提条件として
を考えているのだから、やっぱり
である。つまり、
上の式は、が
を因数に持つ形になっている。これで因数定理を証明できた。
終わりに
前回のエントリと合わせて除法の原理、剰余の定理、因数定理を学んだ。次回は、因数定理を用いる実際の入試問題を扱う予定。
